Question

多面體PABCD的直觀圖及三視圖如圖所示，E、F、G分別為PA、AD和BC的中點(diǎn)，M為PG上的點(diǎn)，且PM：MG=3；4．
（1）求多面體PABCD的體積；
（2）求證：PC∥平面BDE；
（3）求證：FM⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何體的三視圖可得四棱錐的高，等邊三角形PAD所在平面垂直于邊長(zhǎng)等于2的正方形ABCD所在平面，再根據(jù)棱錐的體積公式求出結(jié)果．
（2）設(shè)AC和 BD交于點(diǎn)O，則O為正方形ABCD的中心，由OE是三角形PAC的中位線，OE∥AC，利用直線與平面平行的判定定理證得PC∥平面BDE．
（3）連接PF、FG，則BC⊥平面PFG，故BC⊥FM．利用勾股定理證明FM⊥PG，這樣，F(xiàn)M垂直于平面PBC 內(nèi)的兩條相交直線PG和BC，由直線與平面垂直的判定定理證得FM⊥平面PBC．

解答：解：（1）根據(jù)幾何體的三視圖可得多面體PABCD是高為

3

的四棱錐，
平面PAD垂直于邊長(zhǎng)等于2的正方形ABCD所在平面，△PAD是等邊三角形，
故四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×(2×2)×

3

=

4 3

3

．
（2）設(shè)AC和 BD交于點(diǎn)O，則O為正方形ABCD的中心，又E為PA的中點(diǎn)，
故OE是三角形PAC的中位線，∴OE∥AC．
而OE?平面BDE，AC不在平面BDE內(nèi)，∴PC∥平面BDE．
（3）連接PF、FG，則BC⊥平面PFG，∴BC⊥FM．△PFG中，PF=

3

，F(xiàn)G=2，PG=

7

．
由PM：MG=3：4可得，MG=

4 7

7

，F(xiàn)M=

2 21

7

．∴FM²+MG²=FG²，∴FM⊥PG．
又PG∩BC=G，∴FM⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查證明線面平行、線面垂直的方法，求棱錐的體積，直線與平面平行的判定以及直線與平面垂直
的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．