Question

對于△ABC，有如下四個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形，
②若sinB=cosA，則△ABC是直角三角形
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則△ABC是鈍角三角形
④若，則△ABC是等邊三角形
其中正確的命題個數是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B或C=，可知①不正確．
②若sinA=cosB，找出∠A和∠B的反例，即可判斷則△ABC是直角三角形的正誤．
③由sin²A+sin²B＞sin²C，結合正弦定理可得a²+b²＞c²，再由余弦定理可得cosC＞0，所以C為銳角．
④利用正弦定理，化簡，可得sin=sin=sin，從而可得==．
解答：解：①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=，故△ABC為等腰三角形或直角三角形，故①不正確．
②若sinA=cosB，例如∠A=100°和∠B=10°，滿足sinA=cosB，則△ABC不是直角三角形，故②不正確．
③由sin²A+sin²B＞sin²C，結合正弦定理可得a²+b²＞c²，再由余弦定理可得cosC＞0，∴C為銳角，故③不正確．
④∵，∴sin=sin=sin，由于半角都是銳角，∴==，∴△ABC是等邊三角形，故④正確
故選A．
點評：本題是基礎題，考查三角形的判斷，三角方程的求法，反例法的應用，考查計算能力，邏輯推理能力．