Question

已知等差數(shù)列的前項和為，且、成等比數(shù)列.

（1）求、的值；

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.

 

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）解法1是先令求出的表達式，然后令，得到計算出在的表達式，利用為等差數(shù)列得到滿足通式，從而求出的值，然后利用條件、成等比數(shù)列列方程求出的值，從而求出、的值；解法2是在數(shù)列是等差數(shù)列的前提下，設(shè)其公差為，利用公式以及對應系數(shù)相等的特點得到、和、之間的等量關(guān)系，然后利用條件、成等比數(shù)列列方程求出的值，從而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出數(shù)列的通項公式，然后利用錯位相減法求數(shù)列的和；解法2是利用導數(shù)以及函數(shù)和的導數(shù)運算法則，將數(shù)列的前項和

視為函數(shù)列的前項和在處的導數(shù)值，從而求出.

試題解析：（1）解法1：當時，，

當時，

.

是等差數(shù)列，

，得.

又，，，

、、成等比數(shù)列，

，即，解得.

解法2：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

則.

，

，，.，，.

、、成等比數(shù)列，，

即，解得.

；

（2）解法1：由（1）得.

，.

，①

，②

①②得.

.

解法2：由（1）得.

，.

，①

由，

兩邊對取導數(shù)得，.

令，得.

.

考點：1.定義法求通項；2.錯位相減法求和；3.逐項求導