Question

13．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以原點為極坐標系的極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B，求線段AB的長．

Answer 1

分析 分別求出橢圓C和直線l的直角坐標方程，聯(lián)立方程組能求出弦長|AB|．

解答 解：∵橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)，得橢圓C的直角坐標方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∵直線l的極坐標方程θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），
∴直線l的直角坐標方程為y=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得A（$\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}$），B（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查線段長的求法，考查極坐標、直角坐標的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．