Question

（2013•臨沂一模）已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為l，公比q≠1，S_n為其前n項(xiàng)和，a_l，a₂，a₃分別為某等差數(shù)列的第一、第二、第四項(xiàng)．
（I）求a_n和S_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n+1，數(shù)列{

1

bnbn+2

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）由題意可得a₃-a₂=2（a₂-a₁），結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示已知，解方程可求q，進(jìn)而利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求通項(xiàng)及和
（II）由（I）可知，b_n=log₂a_n+1=n，代入

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），利用裂項(xiàng)求和方法即可求解T_n，可證明

解答：解：（I）a_l，a₂，a₃分別為某等差數(shù)列的第一、第二、第四項(xiàng)
∴a₃-a₂=2（a₂-a₁）
∴a1q2-a1q=2a1q-2a1
∵a₁=1
∴q²-3q+2=0
∴q=2
∴a_n=2^n-1
sn=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1
（II）由（I）可知，b_n=log₂a_n+1=n
∴

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用