Question

15．《中國詩詞大會》第二季總決賽已于2017年2月初完美收官，來自全國各地的選手們通過答題競賽的方式傳播中國古詩詞，從詩經(jīng)、漢魏六朝詩、唐宋詩詞、明清詩詞-直到毛澤東詩詞，展現(xiàn)了對中國傳統(tǒng)文化經(jīng)典的傳承與熱愛，比賽采用闖關(guān)的形式，能闖過上一關(guān)者才能進人下一關(guān)測試，否則即被淘汰．已知某選手能闖過笫一、二、三關(guān)的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{3}{5}，\frac{2}{5}$，且能否闖過各關(guān)互不影響．
（1）求該選手在第3關(guān)被淘汰的概率；
（2）該選手在測試中闖關(guān)的次數(shù)記為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期塑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)互斥事件的概率計算公式，求出該選手在過第3關(guān)被淘汰的概率；
（2）根據(jù)X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，
寫出X的分布列，計算數(shù)學期望值．

解答 解：（1）記“該選手能過第i關(guān)”的事件為A_i（i=1，2，3），
則$P（{A_1}）=\frac{4}{5}，P（{A_2}）=\frac{3}{5}，P（{A_3}）=\frac{2}{5}$，
所以該選手能在過第3關(guān)被淘汰的概率為
$P=P（{{A_1}{A_2}\overline{A_3}}）=P（{A_1}）P（{A_2}）P（{\overline{A_3}}）=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{36}{125}$；
（2）X的可能取值為1，2，3，
所以P（X=1）=P（$\overline{{A}_{1}}$）=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=P（A₁$\overline{{A}_{2}}$）=P（A₁）（$\overline{{A}_{2}}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{25}$，
$P（{X=3}）=P（{{A_1}{A_2}}）=P（{A_1}）P（{A_2}）=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{12}{25}$，
所以X的分布列為

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{12}{25}$

數(shù)學期望為E（X）=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{8}{25}$+3×$\frac{12}{25}$=$\frac{57}{25}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，是中檔題．