Question

12．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ln（e^2x+1）+ax（a∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；并判斷f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；（不必證明）
（2）若f（x²+$\frac{1}{x^2}$）＞f（mx+$\frac{m}{x}$）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)，可得f（1）=f（-1），求解a，然后判斷函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性．
（2）f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，且是偶函數(shù)，又$f（{x^2}+\frac{1}{x^2}）＞f（mx+\frac{m}{x}）$，轉(zhuǎn)化為不等式構(gòu)造函數(shù)求解最值然后推出m范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（1）=f（-1），
即ln（e²+1）+a=ln（e^-2+1）-a，即$2a=ln（\frac{{{e^{-2}}+1}}{{{e^2}+1}}）=-2$，得a=-1，…4分
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=ln（e^2x+1）-x，
對(duì)于?x∈R，f（-x）=ln（e^-2x+1）+x=ln（e^2x+1）-x=f（x），綜上a=-1…6分
f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，…8分
（2）f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，且是偶函數(shù)，又$f（{x^2}+\frac{1}{x^2}）＞f（mx+\frac{m}{x}）$，
所以${x^2}+\frac{1}{x^2}＞|{mx+\frac{m}{x}}|$，…9分
令$t=x+\frac{1}{x}$，則t∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
所以|mt|＜t²-2，$|m|＜|t|-\frac{2}{|t|}$恒成立，…12分
因?yàn)?|t|-\frac{2}{|t|}$，關(guān)于|t|在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以$|t|-\frac{2}{|t|}≥1$，所以|m|＜1恒成立，所以-1＜m＜1．…16分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查函數(shù)思想以及計(jì)算能力．