【題目】已知點P(x,y)在圓x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上
(1)求 的最大值和最小值;
(2)求x2+y2+2x+3的最大值與最小值;
(3)求x+y的最大值與最小值.
【答案】
(1)解:如圖示:
,
圓x2+y2﹣6x﹣6y+14=0即為(x﹣3)2+(y﹣3)2=4,
可得圓心為C(3,3),半徑為r=2,
設k= ,即kx﹣y=0,
則圓心到直線的距離d≤r,
即 ≤2,
平方得5k2﹣18k+5≤0,
解得: ≤k≤ ,
故 的最大值是 ,最小值為
(2)解:x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2
表示點(x,y)與A(﹣1,0)的距離的平方加上2,
連接AC,交圓C于B,延長AC,交圓于D,
可得AB為最短,且為|AC|﹣r= ﹣2=3,
AD為最長,且為|AC|+r=5+2=7,
則x2+y2+2x+3 的最大值為72+2=51,
x2+y2+2x+3的最小值為32+2=11
(3)解:圓x2+y2﹣6x﹣6y+14=0即為(x﹣3)2+(y﹣3)2=4,
令x﹣3=2cosa,y﹣3=2sina,
則x+y=6+2(cosa+sina)=6+2 sin(a+ ),
∵﹣1≤sin(a+ )≤1,
∴6﹣2 ≤6+2 sin(a+ )≤6+2 ,
∴x+y的最大值為6+2 ,最小值為6﹣2
【解析】(1)求得已知圓的圓心和半徑,設k= ,即kx﹣y=0,則圓心到直線的距離d≤r,加上即可得到最值;(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示點(x,y)與A(﹣1,0)的距離的平方加上2,連接AC,交圓C于B,延長AC,交圓于D,可得AB最短,AD最長,加上即可得到所求最值;(3)化簡可得(x﹣3)2+(y﹣3)2=4,從而令x﹣3=2cosa,y﹣3=2sina,從而利用三角函數(shù)求最值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)函數(shù) 在 上有兩個不同的零點,求 的取值范圍;
(2)當 時, 的最大值為 ,求 的最小值;
(3)函數(shù) ,對于任意 存在 ,使得 ,試求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知命題p:x∈R,使得x+ <2,命題q:x∈R,x2+x+1>0,下列命題為真的是( )
A.p∧q
B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q)
D.(¬p)∧(¬q)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若區(qū)間[x1 , x2]的 長 度 定 義 為|x2﹣x1|,函數(shù)f(x)= (m∈R,m≠0)的定義域和值域都是[a,b],則區(qū)間[a,b]的最大長度為( )
A.
B.
C.
D.3
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log2( )﹣x(m為常數(shù))是奇函數(shù).
(1)判斷函數(shù)f(x)在x∈( ,+∞)上的單調性,并用定義法證明你的結論;
(2)若對于區(qū)間[2,5]上的任意x值,使得不等式f(x)≤2x+m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為 .
(1)求a1 , a2 , a3;
(2)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求常數(shù)a的值及an;
(3)對于(2)中的an , 記f(n)=λa2n+1﹣4λan+1﹣3,若f(n)<0對任意的正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).
(1)若a=﹣1,求方程f(x)=1的解集;
(2)若 ,試判斷函數(shù)y=f(x)在R上的零點個數(shù),并求此時y=f(x)所有零點之和的取值范圍.
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