Question

已知數(shù)列{a_n}是非常值數(shù)列的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，S₅=25，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列；
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

2

an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若T_2n-T_n≥t對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)t的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出相應(yīng)的項(xiàng)，待定系數(shù)法設(shè)出首項(xiàng)和公差，根據(jù)S₅=25，a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，通過求解該方程組求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，令An=T2n-Tn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，利用作差法，判斷數(shù)列{A_n}的單調(diào)性，從而求得
T_2n-T_n≥t對(duì)一切正整數(shù)n恒成立時(shí)實(shí)數(shù)t的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，S5=

a1+a5

2

•5=

2•a3

2

•5=a3•5=25，
∴a₃=5．
a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列．則25=（5-2d）（5+10d），解得d=2，d=0（舍）．
a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）•2=2n-1．
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）bn=

2

an+1

=

2

2n-1+1

=

1

n

，Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
令An=T2n-Tn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
則An+1-An=(

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

)-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=-

1

n+1

+

1

2n+1

+

1

2n+2

=-

1

2n+2

+

1

2n+1

＞0，∴An≥A1=

1

2

．
實(shí)數(shù)t的取值范圍為：t≤

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法，考查學(xué)生對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的理解能力，以及利用作差法判定數(shù)列的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)列的函數(shù)特性，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，屬難題．