已知函數(shù),其中是常數(shù)且.
(1)當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時,討論的單調(diào)性;
(3)設(shè)是正整數(shù),證明:.
(1) ;(2)當(dāng)時, 的減區(qū)間為,增區(qū)間為;當(dāng)時, 的減區(qū)間為,增區(qū)間為;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)法,然后才有分離參數(shù)的思路進(jìn)行求解; (2)明確函數(shù)的解析式,利用求導(dǎo)法和分類討論進(jìn)行求解;(3)用代替中的得到,再證明不等式成立.
試題解析:(1)∵,則,∴,
∵當(dāng)時,是增函數(shù),∴在時恒成立. (2分)
即在時恒成立. ∵當(dāng)時,是減函數(shù),
∴當(dāng)時,,∴. (4分)
(2)∵,∴,
∴, (5分)
∴當(dāng)時,由得或,故的減區(qū)間為,增區(qū)間為.
當(dāng)時,由得或,故的減區(qū)間為,增區(qū)間為. (9分)
(3)由(1)知,當(dāng),時,在時增函數(shù),
∴,即,∴,
∵,∴,∴,
即, (12分)
∴
∴. (14分)
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性,不等式的證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆浙江省高二下學(xué)期第一次統(tǒng)練理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),其中是常數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆北京市高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知函數(shù),其中是常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知函數(shù),其中是常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知函數(shù),其中是常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值.
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