已知函數(shù)，其中是常數(shù)且.

（1）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（3）設(shè)是正整數(shù)，證明：.

 

【答案】

（1） ；（2）當(dāng)時， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)法，然后才有分離參數(shù)的思路進(jìn)行求解； （2）明確函數(shù)的解析式，利用求導(dǎo)法和分類討論進(jìn)行求解；（3）用代替中的得到，再證明不等式成立.

試題解析：（1）∵，則，∴，

∵當(dāng)時，是增函數(shù)，∴在時恒成立.      （2分）

即在時恒成立. ∵當(dāng)時，是減函數(shù)，

∴當(dāng)時，，∴.          （4分）

（2）∵，∴，

∴，                  （5分）

∴當(dāng)時，由得或，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

當(dāng)時，由得或，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.                                    （9分）

（3）由（1）知，當(dāng)，時，在時增函數(shù)，

∴，即，∴，

∵，∴，∴，

即，             （12分）

∴

∴.         （14分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性,不等式的證明.

 

練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)，其中是常數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

 

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（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，其中是常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

 

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（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，其中是常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

 

 

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（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中是常數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值.

 

 

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