Question

（2012•瀘州一模）已知圓C：x²+y²=r²（r＞0）與拋物線y²=40x的準(zhǔn)線相切，若直線l：

x

a

+ 

y

b

=1與圓C有公共點，且公共點都為整點（整點是指橫坐標(biāo)．縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點），那么直線l共有（　�。�

A．60條

B．66條

C．72條

D．78條

Answer 1

分析：由題意可求r=10，從而可求出x²+y²=100上的整點個數(shù)，共12個點，由題意可知直線 

x

a

+

y

b

=1（a，b為非零實數(shù)）與x，y軸不平行，不經(jīng)過原點，求出所有的直線的條數(shù)，去掉不滿足題意的直線的條數(shù)即可．

解答：解：∵圓C：x²+y²=r²（r＞0）與拋物線y²=40x的準(zhǔn)線x=-10相切，
∴r=10，
∴圓C的方程為：x²+y²=100．
∴圓x²+y²=100上的整點為（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），共12個點，
∵直線

x

a

+

y

b

=1（a，b為非零實數(shù)），
∴直線與x，y軸不平行，不經(jīng)過原點，
①過每個整點都有一條圓的切線，共12條，不符合要求的4條，分別是過與坐標(biāo)軸的交點的切線；
②又任意兩點連線有

C

2 12

條，
過圓上兩整點與x，y軸平行的有8條（x=±6，±8，y=±6，±8），暫不包括x軸與y軸；
經(jīng)過原點的有6條（包括x軸與y軸），
綜①②知，符合條件的直線共有

C

2 12

+（12-4）-8-6=60．
故選A．

點評：本題考查直線與圓的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)亟柚鷶?shù)形結(jié)合進行求解，屬于難題．