Question

如圖，一科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東a角的射線OZ方向航行，其中tana=

1

3

，在距離港口O為3

13

a（a為正常數(shù)）海里北偏東β角的A處有一個(gè)供科學(xué)考察船物資的小島，其中cosβ=

2

13

，現(xiàn)指揮部緊急征調(diào)沿海岸線港口O正東方向m海里的B處的補(bǔ)給船，速往小島A裝運(yùn)物資供給科學(xué)考察船，該船沿BA方向不變追趕科學(xué)考察船，并在C處相遇．經(jīng)測(cè)算，當(dāng)兩船運(yùn)行的航線OZ與海岸線OB圍成三角形OBC的面積S最小時(shí)，補(bǔ)給最合適．
（1）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式S（m）；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，補(bǔ)給最合適？

Answer 1

分析：先以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系．
（1）先求出直線OZ的方程，然后根據(jù)β的正余弦值和OA的距離求出A的坐標(biāo)，進(jìn)而可以得到直線AB的方程，然后再與直線OZ的方程聯(lián)立求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式可得到答案．
（2）根據(jù)（1）中S（m）的關(guān)系式，進(jìn)行變形整理，然后利用基本不等式求出最小值．

解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)檩S建立直角坐標(biāo)系，直線OZ的方程為y=3x①，
（1）設(shè)A（x₀，y₀），∵cosβ=

2

13

，sinβ=

3

13

，
則x₀=3

13

asinβ=9a，y₀=3

13

acosβ=6a，∴A（9a，6a）．
又B（m，0），則直線AB的方程為y=

6a

9a-m

（x-m） ②
由①、②解得，C（

2am

m-7a

，

6am

m-7a

），
∴S（m）=S_△OBC=

1

2

|OB||yc|=

1

2

×m×

6am

m-7a

=

3am2

m-7a

（m＞7a）．
（2）S（m）=

3am2

m-7a

=3a[（m-7a）+

49a2

m-7a

+14a]≥84a²當(dāng)且僅當(dāng)m-7a=

49a2

m-7a

，即m=14a＞7a時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)m=14a海里時(shí)，補(bǔ)給最合適．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用、三角形的面積公式、基本不等式的應(yīng)用．考查函數(shù)的建模思想和轉(zhuǎn)化思想．