Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，滿足S_n+a_n=n+3（n∈N^*）．
（1）求證：存在常數(shù)c，使數(shù)列{a_n+c}是等比數(shù)列；
（2）求a_n與S_n；
（3）設(shè)T_n=S_n-na_n（n∈N*），求證：T_n+1＞T_n．

Answer 1

分析：（1）寫出S_n-1+a _n-1=n+2與條件相減，經(jīng)過整理變形，從而可構(gòu)造新數(shù)列得證；
（2）由（1）{a_n-1}是等比數(shù)列，且公比q=

1

2

，可求通項(xiàng)，進(jìn)而可以求S_n；
（3）先由條件得T_n+1=S _n+1-（n+1）×a_n+1=s_n-na_n+1再與條件相減得T_n+1-T_n=n[a_n-a_n+1]，從而可證．

解答：解：（1）證明：S_n+a_n=n+3①；S_n-1+a _n-1=n+2 ②
①式與②式相減，得 2a_n-a_n-1=1，經(jīng)過變形，得

an-1

an-1-1

=

1

2

，
顯然存在常數(shù)c=-1，使得數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，且公比q=

1

2

（2）當(dāng)n=1，有s₁+a₁=2a₁=1+3，可得a₁=2，
由{a_n-1}是等比數(shù)列，公比q=0.5，當(dāng)n＞1時，可知a_n-1=（a₁-1）q^n-1化簡，得a_n=0.5^n-1+1
s_n=n+3-an=n+2-q^（n-1）=n+2-0.5^n-1
（3）證明：T_n+1=S _n+1-（n+1）×a_n+1=s_n-na_n+1 由T_n=S_n-na_n，兩式相減，得T_n+1-T_n=n[a_n-a_n+1]③
由于n為N正，n＞0，當(dāng)n=1時，a_n=2，a_n+1=1，a_n-a_n+1＞0，故③式右邊大于0，故T_n+1＞T_n．
當(dāng)n＞1時，由前面得a_n-a_n+1=0.5a_n＞0，故③式右邊大于0，故T_n+1＞T_n．
得證

點(diǎn)評：本題主要考查構(gòu)造法求新數(shù)列，考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，多次使用兩式相減得方法，屬于中檔題．