Question

已知在（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（1）求n； 
（2）求含x²項(xiàng)的系數(shù)； 
（3）求展開式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由二項(xiàng)式定理，可得（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展開式的通項(xiàng)，又由題意，可得當(dāng)r=5時，x的指數(shù)為0，即

n-2r

3

=0，解可得n的值，
（2）由（1）可得，其通項(xiàng)為T_r+1=（-

1

2

）^rC₁₀^rx

10-2r

3

，令x的指數(shù)為2，可得

10-2r

3

=2，解可得r的值，將其代入通項(xiàng)即可得答案；
（3）由（1）可得，其通項(xiàng)為T_r+1=（-

1

2

）^rC₁₀^rx

10-2r

3

，令x的指數(shù)為整數(shù)，可得當(dāng)r=2，5，8時，是有理項(xiàng)，代入通項(xiàng)可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r n

(x

1

3

)n-r(-

1

2

x-

1

3

)r=(-

1

2

)r

C

r n

x

n-2r

3

，
又由第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則當(dāng)r=5時，

n-2r

3

=0，
即

n-10

3

=0，解可得n=10，
（2）由（1）可得，T_r+1=（-

1

2

）^rC₁₀^rx

10-2r

3

，
令

10-2r

3

=2，可得r=2，
所以含x²項(xiàng)的系數(shù)為(-

1

2

)2

C

2 10

=

45

4

，
（3）由（1）可得，T_r+1=（-

1

2

）^rC₁₀^rx

10-2r

3

，
若T_r+1為有理項(xiàng)，則有

10-2r

3

∈Z，且0≤r≤10，
分析可得當(dāng)r=2，5，8時，

10-2r

3

為整數(shù)，
則展開式中的有理項(xiàng)分別為

45

4

x2，-

63

8

，

45

256

x-2．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題時要區(qū)分有理項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，關(guān)鍵是根據(jù)二項(xiàng)式定理，寫出其展開式的通項(xiàng)．