Question

已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-y²≥0}，若向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率是________．

Answer 1

分析：作出Ω對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的Rt△OBC，其中B（6，0），C（0，6）．而A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-y²≥0}表示的平面區(qū)域是在區(qū)域Ω內(nèi)部，位于曲線y=下方、直線x=4左邊且在x軸上方的平面區(qū)域．利用定積分公式算出A對應(yīng)的平面區(qū)域的面積S₁=，再由Rt△OBC的面積為18，結(jié)合幾何概型計算公式即可算出所求的概率．
解答：∵Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，
∴作出Ω對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的Rt△OBC，其中B（6，0），C（0，6）
又∵A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-y²≥0}，
∴作出A對應(yīng)的平面區(qū)域，得到曲線y=下方、直線x=4左邊，
且在x軸上方的平面區(qū)域，
其面積為S₁=dx====
∵Rt_△OBC的面積為S==18
∴向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率P===
故答案為：
點評：本題給出兩個由不等式組確定的平面區(qū)域Ω和A，求向區(qū)域Ω內(nèi)投點能使點落在A內(nèi)的概率．著重考查了運(yùn)用定積分公式計算曲邊三角形的面積和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．