Question

已知cos（α+β）=

4

5

，cos（α-β）=-

4

5

，

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，則cos2β=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：首先根據(jù)α，β的范圍確定π＜α+β＜

3π

2

，0＜α-β＜

π

4

．從而求出sin(α+β)=-

3

5

，sin(α-β)=

3

5

．再利用兩角差的余弦公式即可求出則cos2β=-1．

解答： 解：∵

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，
∴π＜α+β＜

3π

2

，
0＜α-β＜

π

4

．
∴sin(α+β)=-

1-cos2(α+β)

=-

1- 16 25

=-

3

5

，
sin(α-β)=

1-cos2(α-β)

=

1- 16 25

=

3

5

．
又∵2β=（α+β）-（α-β）
由兩角差的余弦公式，得
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=

4

5

•(-

4

5

)+(-

3

5

)•

3

5

=-1．
故答案為；-1．

點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的余弦公式等知識，屬于中檔題．