Question

20．給出下列命題：
①角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，則sinα=|MP|；
②存在x∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinx+cosx=$\frac{1}{3}$；
③將函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度，得到的函數(shù)關(guān)于（$\frac{π}{2}$，0）成中心對(duì)稱；
④y=sinx與y=x在定義域R上有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
其中錯(cuò)誤的命題為①②（把所有符合要求的命題序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦線的定義，可判斷①；根據(jù)輔助角公式及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象的變換方式及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷③；分析函數(shù)f（x）=sinx-x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判斷④．

解答 解：①角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，則sinα=$\overrightarrow{MP}$，故錯(cuò)誤；
②當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，$\frac{1}{3}$∉（1，$\sqrt{2}$]，故錯(cuò)誤；
③將函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
再向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度，得到的函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx的圖象，關(guān)于（$\frac{π}{2}$，0）成中心對(duì)稱，故正確；
④令f（x）=sinx-x，則f′（x）=cosx-1≤0恒成立，故f（x）在R為減函數(shù)，
又由f（0）=0，故f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故y=sinx與y=x在定義域R上有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故④正確；
故錯(cuò)誤的命題有：①②，
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數(shù)線，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．