Question

過點M（m，1）作直線AB交拋物線x²=y于A、B兩點，且|MA|=|MB|，過點M作x軸的垂線交拋物線于點C．
（1）求m的取值范圍；
（2）求△ABC的面積的最大值，并求此時m的值．

Answer 1

分析：（I）利用直線與拋物線的相交弦中點是M，結合韋達定理及直線與拋物線相交的條件求解；
（II）將三角形的面積表示為關于m的函數(shù)，再求函數(shù)的最值即可．

解答：解：（I）設AB直線方程為y=k（x-m）+1
代入拋物線方程x²=y得，x²-kx+mk-1=0（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵M是AB的中點，所以m=

x1+x2

2

=

k

2

，即k=2m
方程（*）即為：x²-2mx+2m²-1=0（**）
由△=4m²-8m²+4＞0得-1＜m＜1
∴m的取值范圍是（-1，1）
（II）∵M（m，1），C（m，m²），MC⊥x軸，
∴|MC|=1-m²，
由方程（**）得x1+x2=2m，x1x2=2m2-1
∴S_△ABC=S_ACM+S_BCM=

1

2

|x1-x2| ． |MC|
=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

 ． |MC|
=

1

2

4-4m2

 ． (1-m2)=(1-m2)

3

2

≤1
所以△ABC的面積的最大值為1，此時m=0

點評：本題考查直線與拋物線的綜合問題．利用函數(shù)思想求最值．