Question

20．若橢圓中心在原點，焦點在x軸上，直線y=x+1交橢圓于P、Q兩點，|PQ|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求橢圓方程．

Answer 1

分析 先設橢圓方程的標準形式，然后與直線方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和、兩根之積的關系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，可得到兩點坐標的關系式，然后再由兩根之和、兩根之積的關系式聯(lián)立可求a，b的值，從而可確定橢圓方程．

解答 解：設所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
依題意知，點P、Q的坐標滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1①}\\{y=x+1②}\end{array}\right.$，
將②式代入①式，整理得
（a²+b²）x²+2a²x+a²（1-b²）=0，③
設方程③的兩個根分別為x₁，x₂，
那么直線y=x+1與橢圓的交點為P（x₁，x₁+1），Q（x₂，x₂+1）．
由題設OP⊥OQ，|PQ|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}}•\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}}=-1}\\{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+[（{x}_{2}+1）-（{x}_{1}+1）]^{2}=（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{x}_{1}{x}_{2}+1=0}\\{4（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-16{x}_{1}{x}_{2}-5=0}\end{array}\right.$，
解這個方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{4}}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
根據(jù)根與系數(shù)的關系，由③式得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{3}{2}}\\{\frac{{a}^{2}（1-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$（Ⅰ）或（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{1}{2}}\\{\frac{{a}^{2}（1-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解方程組（Ⅰ），（Ⅱ），得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{^{2}=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\frac{2}{3}}\\{^{2}=2}\end{array}\right.$，（舍去）．
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{3}}$=1．

點評 本題主要考查直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題一般是將兩方程聯(lián)立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出兩根之和、兩根之積，再由題中條件可解題．