Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)C₁：2x²-y²=1．
（1）過(guò)C₁的左頂點(diǎn)引C₁的一條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，求該直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)及x軸圍成的三角形的面積；
（2）過(guò)點(diǎn)Q(-

2

，

2

)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C₁有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程；
（3）設(shè)橢圓C₂：4x²+y²=1．若M、N分別是C₁、C₂上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線(xiàn)MN的距離是定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)，然后求出三角形的面積．
（2）過(guò)點(diǎn)Q(-

2

，

2

)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C₁有且只有一個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，可得結(jié)論；
（3）當(dāng)直線(xiàn)ON垂直x軸時(shí)，直接求出O到直線(xiàn)MN的距離為

3

3

．當(dāng)直線(xiàn)ON不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞

2

2

），推出直線(xiàn)OM的方程為y=

1

k

x，利用

y=kx 4x2+y2=1

，求|ON|²=

1+k2

4+k2

．同理|OM|²=

1+k2

2k2-1

，設(shè)O到直線(xiàn)MN的距離為d，通過(guò)（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，求出d=

3

3

．推出O到直線(xiàn)MN的距離是定值．

解答： 解：（1）雙曲線(xiàn)C₁：2x²-y²=1左頂點(diǎn)A（-

2

2

，0），
漸近線(xiàn)方程為：y=±

2

x．
過(guò)A與漸近線(xiàn)y=

2

x平行的直線(xiàn)方程為y=

2

（x+

2

2

），即y=

2

x+1，
所以

y=- 2 x y= 2 x+1

，解得

x=- 2 4 y= 1 2

．
所以所求三角形的面積為S=

1

2

|OA||y|=

2

8

；
（2）由題意，直線(xiàn)的斜率存在，
∵過(guò)點(diǎn)Q(-

2

，

2

)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C₁有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，
∵漸近線(xiàn)的斜率為±

2

，
∴直線(xiàn)l的方程為y-

2

=±

2

（x+

2

），即y=

2

x+2+

2

或y=-

2

x-2+

2

；
（3）當(dāng)直線(xiàn)ON垂直x軸時(shí)，|ON|=1，|OM|=

2

2

，則O到直線(xiàn)MN的距離為

3

3

．
當(dāng)直線(xiàn)ON不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞

2

2

），
則直線(xiàn)OM的方程為y=

1

k

x，由

y=kx 4x2+y2=1

得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，
所以|ON|²=

1+k2

4+k2

．
同理|OM|²=

1+k2

2k2-1

，
設(shè)O到直線(xiàn)MN的距離為d，
因?yàn)椋▅OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，
所以

1

d2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=3，
即d=

3

3

．
綜上，O到直線(xiàn)MN的距離是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，圓錐曲線(xiàn)的綜合，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查計(jì)算能力．