Question

已知點(diǎn)A，B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)M滿足

BM

=λ

MA

(λ＞0)，直線OM交橢圓于C，D兩點(diǎn)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△ABC和△ABD的面積分別記為S₁和S₂．
（1）若λ=1，求

S1

S2

的值．
（2）當(dāng)λ變化時(shí)，求

S1

S2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得M（

a

2

，

b

2

），直線OM的方程為y=

b

a

x，與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1聯(lián)立可求得C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得C，D兩點(diǎn)到直線AB的距離d與d′，從而可得

S1

S2

的值；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），同理可求得x₀=

λa

1+λ

，y₀=

b

1+λ

及CD的方程，與橢圓方程聯(lián)立可求得C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得C，D兩點(diǎn)到直線AB的距離d與d′，從而可得

S1

S2

的值．

解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），λ=1，
∴

BM

=

MA

（λ＞0），即M為線段AB的中點(diǎn)，
∴M（

a

2

，

b

2

），
故直線OM的方程為y=

b

a

x，與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1聯(lián)立，整理得x²=

a2

2

，
于是C（

2 a

2

，

2 b

2

），D（-

2 a

2

，-

2 b

2

）．
∵AB的方程為：

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
∴點(diǎn)C（

2 a

2

，

2 b

2

）到直線AB的距離d=

| 2 2 ab+ 2 2 ab-ab|

a2+b2

=

( 2 -1)|ab|

a2+b2

，
同理可求D（-

2 a

2

，-

2 b

2

）到直線AB的距離d′=

( 2 +1)|ab|

a2+b2

，
所以，

S1

S2

=

|d|

|d′|

=

( 2 -1)|ab| a2+b2

( 2 +1)|ab| a2+b2

=(

2

-1)2．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），∵

BM

=λ

MA

（λ＞0），
∴（x₀，y₀-b）=λ（a-x₀，-y₀），
解得x₀=

λa

1+λ

，y₀=

b

1+λ

，
∴CD的方程為y=

b

λa

x，由

x2 a2 + y2 b2 =1 y= b λa x

得：（1+λ²）x²=λ²a²，
∴x=±

λ2a2 1+λ2

=±

λa

1+λ2

，
∴C（

λa

1+λ2

，

b

1+λ2

），D（-

λa

1+λ2

，-

b

1+λ2

），
設(shè)C（

λa

1+λ2

，

b

1+λ2

）到直線AB的距離為d，則d=

( 1+λ 1+λ2 -1)|ab|

a2+b2

，
設(shè)D（-

λa

1+λ2

，-

b

1+λ2

）到直線AB的距離為d′，則d′=

( 1+λ 1+λ2 +1)|ab|

a2+b2

，
∴

S1

S2

=

|d|

|d′|

=

1+λ- 1+λ2

1+λ+ 1+λ2

=1-

2 1+λ2

1+λ+ 1+λ2

=1-

2

1+λ 1+λ2 +1

=1-

2

(1+λ)2 1+λ2 +1

=1-

2

1+ 2λ 1+λ2 +1

（λ＞0），
∵λ＞0，故1+λ²≥2λ，于是0＜

2λ

1+λ2

≤1，2＜1+

1+ 2λ 1+λ2

≤1+

2

，
2（

2

-1）≤

2

1+ 2λ 1+λ2 +1

＜1，-1＜-

2

1+ 2λ 1+λ2 +1

≤2（1-

2

），
∴0＜1-

2

1+ 2λ 1+λ2 +1

≤1+2（1-

2

）=3-2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)λ=1時(shí)取等號(hào)）．
∴

S1

S2

的取值范圍是（0，3-2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查點(diǎn)到直線間的距離公式及三角形面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想及綜合運(yùn)算能力，屬于難題．