Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c（實數a，b，c為常數）的圖象過原點，且在x=1處的切線為直線．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若常數m＞0，求函數f（x）在區(qū)間[-m，m]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過原點，可得f（0）=c=0．求導函數，利用在x=1處的切線為直線，即可求得函數f（x）的解析式；
（2）f（x）=x³-x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），確定函數的單調性與極大值，將端點函數值與極大值比較，進行分類討論，即可求得函數f（x）在區(qū)間[-m，m]上的最大值．
解答：解：（1）∵函數f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過原點，
∴f（0）=c=0，
求導函數可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1處的切線為直線．
∴f（1）=1+a+b=-，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-，b=0，
∴f（x）=x³-x²，
（2）f（x）=x³-x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函數在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增；在（0，1）上單調遞減，
∴函數在x=0處取得極大值0，
令f（x）=x³-x²=0，可得x=0或x=，
∴0＜m＜時，f（m）＜0，函數在x=0處取得最大值0；
m≥時，f（m）≥0，函數在x=m處取得最大值．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與極值，解題的關鍵是明確函數的最值在極值處或端點處取得，注意數形結合思想的運用．