Question

甲、乙、丙三人分別獨立的進行某項技能測試，已知甲能通過測試的概率是

2

5

，甲、乙、丙三人都能通過測試的概率是

3

20

，甲、乙、丙三人都不能通過測試的概率是

3

40

，且乙通過測試的概率比丙大．
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是多少；
（Ⅱ）求測試結(jié)束后通過的人數(shù)ξ的數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是x、y依題意得

2 5 xy= 3 20 3 5 (1-x)(1-y)= 3 40

，mh hx ce fiy bm 乙、丙兩人各自通過測試的概率．
（Ⅱ）因為隨機變量ξ表示測試結(jié)束后通過的人數(shù)，由題意可知ξ的所有可能值為：0，1，2，3，并且P（ξ=0）=

3

40

，P（ξ=1）=

7

20

，P（ξ=3）=

3

20

，P（ξ=2）=

17

40

，由此能求出Eξ．

解答：解：（Ⅰ）設乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是x、y依題意得：

2 5 xy= 3 20 3 5 (1-x)(1-y)= 3 40

，
即

x= 3 4 y= 1 2

或

x= 1 2 y= 3 4

（舍去）
所以乙、丙兩人各自通過測試的概率分別是

3

4

、

1

2

．
（Ⅱ）因為隨機變量ξ表示測試結(jié)束后通過的人數(shù)，由題意可知ξ的所有可能值為：0，1，2，3，
并且P（ξ=0）=

3

40

，P（ξ=1）=

2

5

×(1-

3

4

)(1-

1

2

)+(1-

2

5

)×

3

4

×(1-

1

2

)+(1-

2

5

)(1-

3

4

)×

1

2

=

7

20

，
P（ξ=3）=

3

20

，P（ξ=2）=1-（

3

40

+

3

20

+

7

20

）=

17

40

，
所以Eξ=0×

3

40

+1×

7

20

+2×

17

40

+3×

3

20

=

33

20

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解（1）題時要注意方程思想的合理運用，解（2）題時要注意ξ的所有可能值，避免丟解漏解．