Question

如圖，有一塊邊長為15cm的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為xcm的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，若該盒子的體積最大，那么截去的小正方形的邊長x是

5

2

cm．

Answer 1

分析：先利用柱體的體積計算公式求出盒子的體積V關于x的函數關系式和x的取值范圍，所得結果為三次函數，再利用導數求函數在開區(qū)間上取最大值時對應的x的值即可

解答：解：∵截去的小正方形的邊長為xcm，
∴折成的無蓋盒子底面是邊長為（15-2x）cm的正方形，高是xcm．
∴盒子的體積V=x（15-2x）²，（0＜x

15

2

），
V′=x′（15-2x）²+x[（15-2x）²]′=（15-2x）²-4x（15-2x）=12x²-120x+225
令V′=0，即12x²-120x+225=0，解得，x=

15

2

或x=

5

2

∵0＜x

15

2

，
∴x=

5

2

∵當0＜x＜

5

2

時，V′＞0，當x＞5時，V′＜0，
∴函數V=x（15-2x）²在（0，

5

2

）上是增函數，在（

5

2

，

15

2

）上為減函數
∴當x=

5

2

時，V有極大值．
又∵V關于x的函數在區(qū)間（0，

15

2

）只有一個極大值，∴極大值也是區(qū)間（0，

15

2

）上的最大值．
∴當x=

5

2

時，該盒子的體積最大．
故答案為

5

2

點評：本題考查了將實際問題轉化為數學問題的能力，利用導數研究函數性質，求函數在開區(qū)間上的最值的方法