Question

已知四棱錐P-ABCD的側(cè)棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，且AB=AP=a．
（I）若E、F分別是PA、BC的中點，證明EF∥平面PCD；
（II）求點A到平面PBD的距離．

Answer 1

分析：（I）取PD中點M，連接EM，MC則EM∥AD，EM=0.5AD=0.5BC=FC，從而四邊形EFCM是平行四邊形，則EF∥CM，又CM?平面PCD，EF?平面PCD，根據(jù)線面平行的判定定理可知EF∥平面PCD．
（II）連接BD，設點A到平面PBD的距離為h，根據(jù)（I）知PA⊥底面ABCD，△PBD是邊長為

2

a的正三角形，根據(jù)VP-ABD=VA-PBD得

1

3

×S△ABD×PA=

1

3

×S△PBD×h，建立等式關(guān)系解之即可求出所求．

解答：解：（I）取PD中點M，連接EM，MC則EM∥AD，（2分）
EM=0.5AD=0.5BC=FC，
∴四邊形EFCM是平行四邊形，即EF∥CM．
又CM?平面PCD，
EF?平面PCD，因此EF∥平面PCD．（6分）
（II）連接BD，設點A到平面PBD的距離為h，
則由（I）知PA⊥底面ABCD，△PBD是邊長為

2

a的正三角形，
而由VP-ABD=VA-PBD得

1

3

×S△ABD×PA=

1

3

×S△PBD×h，（9分）
即S_△PBD×h=S_△ABD×PA．
又S△PBD=

1

2

×PB2sin60°=

3 a2

2

，S△ABD=

1

2

a2，
∴

3 a2

2

×h=

a2

2

×a，h=

3

3

a
故點A到平面PBD的距離為

3

3

a．（12分）

點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視．