Question

設(shè)點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），T（x₀，f（x₀））在函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的圖象上，其中x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，x₀（x₀≠0）是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，則a=

3

2

．

Answer 1

分析：先把函數(shù)的零點(diǎn)求出來(lái)，再對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)并求出其零點(diǎn)，列出表格和畫(huà)出圖象，利用在斜率存在的條件下兩條直線垂直的充要條件k₁k₂=-1即可求出答案．

解答：解：令f（x）=0，（a＞0），則x(x+

a

)(x-

a

)=0，解得x=0，±

a

．
∵x₀（x₀≠0）是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，∴x0=-

a

或x0=

a

．
∵f^′（x）=3x²-a=3(x+

3a

3

)(x-

3a

3

)，
令f^′（x）=0，解得x=±

3a

3

，列表如下：
由表格可知：當(dāng)x=

3a

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，且f(

3a

3

)=-

2a 3a

9

；
當(dāng)x=-

3a

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，且f(-

3a

3

)=

2a 3a

9

；
不妨設(shè)A(-

3a

3

，

2a 3a

9

)，B(

3a

3

，-

2a 3a

9

)．∴KAB=

-2a

3

．
根據(jù)表格作出如下圖象：
①當(dāng)x0=

a

時(shí)．f′(

a

)=2a，
∵函數(shù)f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，
∴-

2a

3

×2a=-1，（a＞0），解得a=

3

2

．
②當(dāng)x0=-

a

時(shí)．f′(

a

)=2a，
∵函數(shù)f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，
∴-

2a

3

×2a=-1，（a＞0），解得a=

3

2

．
綜上可知：滿足條件的a的值為

3

2

．
故答案為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：充分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和理解函數(shù)的零點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．