Question

為了倡導(dǎo)健康、低碳的生活理念，某公園開展租自行車騎游公園服務(wù)．公園內(nèi)自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為3元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．今有甲、乙兩人相互獨(dú)立來到公園租車點(diǎn)租車騎游公園（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為

1

4

，

1

2

；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為

1

2

，

1

4

；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)．
（Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人所付租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）首先求出兩個(gè)人租車時(shí)間超過三小時(shí)的概率，甲乙兩人所付的租車費(fèi)用相同即租車時(shí)間相同：都不超過兩小時(shí)、都在兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)和都超過三小時(shí)三類求解即可．
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，2，4，6，8，由獨(dú)立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．

解答： 解：（Ⅰ）甲乙兩人租車時(shí)間超過三小時(shí)的概率分別為：

1

4

，

1

4

甲乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率P=

1

4

×

1

2

+

1

2

×

1

4

+

1

4

×

1

4

=

5

16

；
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的所有取值為0，2，4，6，8
P（ξ=0）=

1

4

×

1

2

=

1

8

P（ξ=3）=

1

4

×

1

4

+

1

2

×

1

2

=

5

16

P（ξ=6）=

1

2

×

1

4

+

1

2

×

1

4

+

1

4

×

1

4

=

5

16

P（ξ=9）=

1

2

×

1

4

+

1

4

×

1

4

=

3

16

P（ξ=12）=

1

4

×

1

4

=

1

16

，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	3	6	9	12
P	1 8	5 16	5 16	3 16	1 16

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=3×

5

16

+6×

5

16

+9×

3

16

+12×

1

16

=

21

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立事件、互斥事件的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．