已知向量
a
=(x，
2
y)，
b
=(1，0)，且(
a
+2
b
)⊥(
a
-2
b
)．點T（x，y）
（1）求點T的軌跡方程C；
（2）過點（0，1）且以(2，
2
)為方向向量的一條直線與軌跡方程C相交于點P，Q兩點，OP，OQ所在的直線的斜率分別是kOP、kOQ，求kOP•kOQ的值．
分析：（1）由
a
=(x，
2
y)，
b
=(1，0)，可得
a
+2
b
=(x+2，
2
y)，
a
-2
b
=(x-2，
2
y)，利用(
a
+2
b
)⊥(
a
-2
b
)得到兩者的內(nèi)積為0，整理可得點T的軌跡方程；
（2）設(shè)直線L的方程：y=
2
2
x+1與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率公式，即可求kOP•kOQ的值．
解答：解：（1）∵
a
=(x，
2
y)，
b
=(1，0)，
∴
a
+2
b
=(x+2，
2
y)，
a
-2
b
=(x-2，
2
y)
∵(
a
+2
b
)⊥(
a
-2
b
)
∴x2-4+2y2=0
∴點T的軌跡方程C為
x2
4
+
y2
2
=1
（2）設(shè)直線L的方程：y=
2
2
x+1
聯(lián)立
x2
4
+
y2
2
=1
y=
2
2
x+1
消去y得：x2+
2
x-1=0所以x1x2=-1，
同法消去x得：2y2-2y-1=0，所以y1y2=-
1
2

∴kOP•kOQ=
y1y2
x1x2
=
1
2
點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(x，-3)，
b
=(-2，1)，
c
=(1，y)，若
a
⊥(
b
-
c
)，則x-y=
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，2)，
b
=(x，4)，若向量
a
∥
b
，則x=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，2)，
b
=(-3，4)，如果向量x
a
+
b
與
b
垂直，則實數(shù)x的值為
-5
-5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，2)，
b
=(-2，1)，
x
=+(k2+1)
b
，
y
=-
1
k
a
+
1
t
b
，k，t為實數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)k=-2時，求使
x
∥
y
成立的實數(shù)t值；
（Ⅱ）若
x
⊥
y
，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練8練習(xí)卷（解析版） 題型：填空題

已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,則9x+3y的最小值為　　　　.

 

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