(19)如圖，橢圓 (a＞b＞0)與過(guò)點(diǎn)A(2，0)、B(0，1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=

(Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)Fl、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證：|AT|2=|AF1|·|AF2|．

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。解：（Ⅰ）過(guò)A、B的直線方程為

因?yàn)橛深}意得有惟一解，

即（Equation.3+）x2-a2x+a2-a2b2=0有惟一解，

所以

Δ=a2b2 (a2+4b2-4)=0(ab≠0),

故a2+4b2-4=0.

又因?yàn)閑=即

所以a2=4b2.

從而得a2=2，b2=，

故所需求的橢圓的方程為

（Ⅱ）由（Ⅰ）得c=

     所以F1（-，0），F(xiàn)2（，0）.

         由解得x1=x2=1，

     因此T（1，）.

     從而|AT|2=

     因?yàn)閨AF1|·|AF2|=，

     所以|AT|2=|AF1|·|AF2|.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A1，A2，B1，B2為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（　　）
A、2
7
-5
B、
2
7
+1
9
C、
7
-
5
2
D、
2
7
-1
9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：044

(2007北京，19)如圖所示，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r．計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上．記CD＝2x，梯形面積為S．

(1)求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫(xiě)出其定義域；

(2)求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（19）如圖，橢圓（2，0）、B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=。

   （Ⅰ）求橢圓方程；

   （Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF2的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

 (2012年高考福建卷理科19)（本小題滿分13分）

如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率。過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8。

（Ⅰ）求橢圓的方程。

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)。試探究：

     在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

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