Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a∈R時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數(shù)的定義域，把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式后，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)等于0求出函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合定義域可得函數(shù)在定義域內(nèi)取得最值的情況，從而求出函數(shù)的最值．
（2）把原函數(shù)求導(dǎo)后，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類，根據(jù)a的不同取值得到導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-x-ln（x-1），
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{3}{2}）}{x-1}$，
當(dāng)x∈（1，$\frac{3}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，
所以f （x）在（1，$\frac{3}{2}$）為減函數(shù)．
當(dāng)x∈（$\frac{3}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
所以f （x）在（$\frac{3}{2}$，+∞）為增函數(shù)，
則當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）有極小值，也就是最小值．
所以函數(shù)f （x）的最小值為f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$+ln2；
（2）f′（x）=2x-a-$\frac{a}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{a+2}{2}）}{x-1}$，
若a≤0時(shí)，則 $\frac{a+2}{2}$≤1，f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
所以f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）．
若a＞0，則 $\frac{a+2}{2}$＞1，故當(dāng)x∈（1，$\frac{a+2}{2}$]，f′（x）≤0，
當(dāng)x∈[$\frac{a+2}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）≥0，
所以a＞0時(shí)f（x）的減區(qū)間為（1，$\frac{a+2}{2}$]，f（x）的增區(qū)間為[$\frac{a+2}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在（a，b）內(nèi)恒大于等于0，原函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在（a，b）內(nèi)恒小于等于0，原函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，此題是中檔題．