Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的三個側面的三條對角線AB₁、BC₁、CA₁中，若AB₁⊥BC₁，求證：A₁C⊥AB₁．(注：所謂正三棱柱是指底面為正三角形且側棱與底面垂直的三棱柱)

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：將三棱柱補成直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，如圖所示．

　　于是，BC₁AD₁．

　　因AB₁⊥BC₁，故AB₁⊥AD₁，

　　從而△B₁AD₁為等腰三角形．

　　設A₁B₁＝a，則B₁D₁＝，

　　于是AB₁＝AD₁＝．

　　在Rt△AA₁B₁中，

　　．

　　設A₁C∩AO₁＝E，則E為A₁C的三等分點．

　　故A₁E＝A₁C＝．

　　又E為AO₁的三等分點，

　　故．

　　由于A₁E²＋O₁E²＝，

　　故A₁E⊥O₁E，即A₁C⊥AO₁．

　　又B₁D₁⊥A₁C₁，

　　故B₁D₁⊥A₁C．

　　從而A₁C⊥平面B₁AD₁．

　　所以A₁C⊥AB₁．