Question

已知兩點(diǎn)A（-2，0），B（0，2），點(diǎn)C是圓x²+y²-2x=1上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是

1

．

Answer 1

分析：先由A和B的坐標(biāo)，確定出直線(xiàn)AB的解析式，再把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)AB的距離d，用d-r求出圓上到直線(xiàn)AB距離最小的點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離，即為所求的C點(diǎn)，三角形ABC邊AB邊上的高即為d-r，故利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式即可求出此時(shí)三角形的面積，即為所求面積的最小值．

解答：解：∵A（-2，0），B（0，2），
∴直線(xiàn)AB解析式為：y-2=

2-0

0-(-2)

x，即x-y+2=0，
把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-1）²+y²=2，
∴圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑r=

2

，
可得圓心到直線(xiàn)AB的距離d=

3

2

=

3 2

2

，
∴圓上點(diǎn)到直線(xiàn)AB最小距離為d-r=

3 2

2

-

2

=

2

2

，
又|AB|=

(-2-0)2+(0-2)2

=2

2

，
則△ABC面積的最小值S=

1

2

|AB|•（d-r）=

1

2

×2

2

×

2

2

=1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，以及兩點(diǎn)間的距離公式，其中得出d-r（d為圓心到直線(xiàn)AB的距離，r為圓的半徑）為圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)AB距離的最小值是解本題的關(guān)鍵．