如圖,在三棱錐P-ABC中,,O,E,F(xiàn)分別是AC,PC,BC的中點(diǎn),且OP⊥平面ABC.
(1)求證:OE∥平面PAB;
(2)求證:BC⊥平面PFO;
(3)設(shè)直線OE與平面PBC所成角為α,求sinα.

【答案】分析:(1)直接根據(jù)O,E分別是AC,PC的中點(diǎn)得到OE∥PA;即可得到OE∥平面PAB;
(2)先根據(jù)中線得到OF∥AB推出OF⊥BC;再結(jié)合OP⊥平面ABC得到OP⊥BC即可得到BC⊥平面PFO;
(3)先由BC⊥平面PFO得到平面PBC⊥平面PFO,再作OH⊥PF與H,連EH,即可得∠OEH就是直線OE與平面PBC所成角;然后通過(guò)求三角形的邊長(zhǎng)即可求出結(jié)論.
解答:證:(1):∵O,E分別是AC,PC的中點(diǎn),
∴OE∥PA;
又OE不在平面PAB內(nèi),PA?平面PAB,
∴OE∥平面PAB.
(2):∵O,F(xiàn)分別是AC,BC的中點(diǎn)
∴OF∥AB,
又∵∠ABC=90°,
∴OF⊥BC,
∵OP⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴OP⊥BC,又OF∩OP=O
∴BC⊥平面PFO
(3):由(2)知BC⊥平面PFO,
BC?平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PFO,
作OH⊥PF與H,連EH,
∵平面PBC∩平面PFO=PF,
∴OH⊥平面PBC,
∴∠OEH就是直線OE與平面PBC所成角,即為α.
不妨設(shè)PA=4,得OE=PA=2.
在RT△POF中,PO=,OF=1,PF=
∴OH==
∴sinα==
點(diǎn)評(píng):本題主要考察線面角的求法以及線面平行以及垂直的證明.一般在證明線面平行時(shí),常先證線線平行.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為
 

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3
,則PA=
1
1

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PB,PC上,且BC∥平面ADE
(I)求證:DE⊥平面PAC;
(Ⅱ)當(dāng)二面角A-DE-P為直二面角時(shí),求多面體ABCED與PAED的體積比.

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