Question

已知函數(shù)f（x）=

1+a•2x

2x+1

 是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并給出證明過程；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，-

1

3

)，這對任意x∈R不等式f（x²-2mx+m+1）≤

1

3

恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用f（0）=0可求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）f（x）=-1+

2

2x+1

為R上的減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，易證f′（x）=-

2x+1ln2

(2x+1)2

＜0，從而可使結(jié)論得證；
（3）依題意知f（-1）=

1

3

，f（x）=

1-2x

2x+1

為R上的減函數(shù)，?x∈R，f（x²-2mx+m+1）≤

1

3

=f（-1）恒成立?x²-2mx+m+2≥0恒成立?△≤0，從而可得實(shí)數(shù)m的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1+a•2x

2x+1

 是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=

1+a

2

=0，
∴a=-1；
（2）由（1）知a=-1，
∴f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
∴f（x）=-1+

2

2x+1

為R上的減函數(shù)；
證明如下：∵f（x）=-1+

2

2x+1

，
∴f′（x）=-

2x+1ln2

(2x+1)2

＜0，
∴f（x）=

1-2x

2x+1

為R上的減函數(shù)；
（3）∵函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-

1

3

），即f（1）=-

1

3

，
∴f（-1）=-f（1）=

1

3

，
∴?x∈R，f（x²-2mx+m+1）≤

1

3

=f（-1）恒成立，由（2）知，f（x）=-1+

2

2x+1

為R上的減函數(shù)，
∴x²-2mx+m+1≥-1恒成立，即x²-2mx+m+2≥0恒成立，
∴△=（-2m）²-4（m+2）≤0，
解得：-1≤m≤2．
∴實(shí)數(shù)m的范圍為：[-1，2]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與方程思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．