Question

利用數(shù)學(xué)歸納法證明“（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）（n∈N^*）”時(shí)，從“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的是（　　）

A．2

B．2k+2

C．（2k+1）（2k+2）

D．4k+2

Answer 1

分析：依題意，可寫出n=k時(shí)成立的等式與n=k+1時(shí)成立的等式，二者比較即可得到答案．

解答：解：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2^k×1×3×…×（2k-1）（k∈N^*），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，應(yīng)有[（k+1）+1][（k+1）+2][（k+1）+3）]•…[（k+1）+（k+1）]=2^k+1×1×3×…×[2（k+1）-1]（k∈N^*），
即（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）=（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）•

(2k+1)(2k+2)

k+1

=2^k+1×1×3×…×（2k+1）（k∈N^*），
∴從“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的是

(2k+1)(2k+2)

k+1

=2（2k+1）=4k+2．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，理清從“n=k”變到“n=k+1”時(shí)左邊項(xiàng)數(shù)的變化是關(guān)鍵，考查理解與推理運(yùn)算的能力，屬于中檔題．