Question

1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=1，BF=3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點(diǎn)B在平面CDEF上的射影H在直線DE上．

（I）求證：CD⊥BE；
（II）求點(diǎn)B到平面CDE的距離；
（III）求直線AF與平面EFCD所成的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明BH⊥CD，結(jié)合CD⊥DE，推出CD⊥平面DBE，然后證明CD⊥BE．
（2）法一：設(shè)BH=h，EH=k，過(guò)F作FG垂直ED于G，利用勾股定理，求出線段BH長(zhǎng)度為2，即點(diǎn)B的平面CDE的距離為2．
法二：延長(zhǎng)BA交EF于點(diǎn)M，因?yàn)锳E：BF=MA：MB=1：3；點(diǎn)A到平面EFCD的距離為點(diǎn)B到平面EFCD距離的$\frac{1}{3}$，過(guò)點(diǎn)E作ER∥DC，過(guò)點(diǎn)E作ES⊥平面EFCD，分別以ER、ED、ES為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B（0，y，z）（y＞0，z＞0），然后求解線段BH的長(zhǎng)度為2．即點(diǎn)B到平面CDE的距離為2．
（3）求出平面EFCD的一個(gè)法向量，設(shè)直線AF與平面EFCD所成角的大小為θ，利用向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：（1）由于BH⊥平面CDEF，∴BH⊥CD，又由于CD⊥DE，BH∩DE=H，∴CD⊥平面DBE，∴CD⊥BE．
（2）法一：設(shè)BH=h，EH=k，過(guò)F作FG垂直ED于G，
因線段BF，BF在翻折過(guò)程中長(zhǎng)度不變，根據(jù)勾股定理：$\left\{\begin{array}{l}B{E^2}=B{H^2}+E{H^2}\\ B{F^2}=B{H^2}+F{H^2}=B{H^2}+F{G^2}+G{H^2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}5={h^2}+{k^2}\\ 9={2^2}+{h^2}+{（{2-k}）^2}\end{array}\right.$，可解得$\left\{\begin{array}{l}h=2\\ k=1\end{array}\right.$，∴線段BH長(zhǎng)度為2，即點(diǎn)B的平面CDE的距離為2．
（2）法二：延長(zhǎng)BA交EF于點(diǎn)M，因?yàn)锳E：BF=MA：MB=1：3
點(diǎn)A到平面EFCD的距離為點(diǎn)B到平面EFCD距離的$\frac{1}{3}$，∴點(diǎn)A平面EFCD的距離為$\frac{2}{3}$，而$AF=\sqrt{13}$，
直線AF與平面EFCD新角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{13}}}{39}$．

如圖，過(guò)點(diǎn)E作ER∥DC，過(guò)點(diǎn)E作ES⊥平面EFCD，分別以ER、ED、ES為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B（0，y，z）（y＞0，z＞0），由于$F（{2，2，0}），BE=\sqrt{5}，BF=3$，∴$\left\{\begin{array}{l}{y^2}+{z^2}=5\\ 4+{（{y-2}）^2}+{z^2}=9\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}y=1\\ z=2\end{array}\right.$于是B（0，1，2），所以線段BH的長(zhǎng)度為2．
即點(diǎn)B到平面CDE的距離為2．
（3）從而$\overrightarrow{FB}$=（-1，1，2），故$\overrightarrow{EA}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FB}$=（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EA}$=（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{7}{3}$，$\frac{2}{3}$），
設(shè)平面EFCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），設(shè)直線AF與平面EFCD所成角的大小為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{FA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{13}}{39}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直，點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．