Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，令T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；   （Ⅱ）判斷T_n+1，T_n（n∈N^*）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）將兩個(gè)已知等式結(jié)合得到關(guān)于數(shù)列{b_n}的項(xiàng)的遞推關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

1

bn

，進(jìn)一步求出b_n．
（II）表示出T_n，T_n+1，求出T_n+1-T_n，通過放縮法，判斷出此差的符號(hào)，判斷出T_n+1，T_n兩者的大�。�

解答：解：（Ⅰ）解：由b_n=a_n-1得
a_n=b_n+1代入2a_n=1+a_na_n+1得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1）
整理得b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0
從而有

1

bn+1

-

1

bn

=1
∴b₁=a₁-1=2-1=1
∴{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=n即bn=

1

n

（Ⅱ）T_n+1＞T_n
證明：∵Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

Tn+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

Tn+1-Tn=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0

故T_n+1＞T_n

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，一般先看遞推關(guān)系的特點(diǎn)選擇合適的求通項(xiàng)的方法；求數(shù)列的前n項(xiàng)和一般也是先判斷通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的方法．