設(shè)
(1)證明:對(duì)任意x∈R,當(dāng)時(shí),;
(2)證明:當(dāng),f2n+1(x)對(duì)任意x∈R和自然數(shù)n(n≥2)都有f2n+1(x)>0.
【答案】分析:(1)討論r,在r≠0的情況,利用二次函數(shù)的最值,結(jié)合r的范圍運(yùn)用放縮法證明;
(2)利用放縮法將所求轉(zhuǎn)化,并運(yùn)用等比數(shù)列求和,再結(jié)合r的范圍放縮證明.
解答:解:(1)1°當(dāng)r=0時(shí),顯然
2°當(dāng)r≠0時(shí),設(shè)φ(x)=rcosx+r2cos2x=r2(2cos2x-1)+rcosx
=.(

(2)當(dāng)時(shí),?x∈R,?n∈N*(n≥2),
=
=
點(diǎn)評(píng):本題是不等式的綜合題,關(guān)鍵是靈活運(yùn)用放縮法將不等關(guān)系“細(xì)化”,放縮法證明不等式是高考的難點(diǎn),也是綜合題里的?键c(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

A是定義在[2,4]上且滿足如下兩個(gè)條件的函數(shù)Φ(x)組成的集合:
①對(duì)任意的x∈[1,2],都有Φ(2x)∈(1,2);
②存在常數(shù)L(0<L<1),使得對(duì)任意的x1,x2∈[1,2],都有|Φ(2x1)-Φ(2x2)|≤L|x1-x2|;
(1)設(shè)Φ(x)=
[
3]1+x,x∈[2,4]
,證明:Φ(x)∈A;
(2)設(shè)Φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=Φ(2x0),那么,這樣的x0是唯一的;
(3)設(shè)Φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=Φ(2xn),n=1,2,…,
證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|
成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy上,給定拋物線L:y=
1
4
x2.實(shí)數(shù)p,q滿足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的兩根,記φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}.
(1)過(guò)點(diǎn),A(p0,
1
4
p02)(p0≠0),作L的切線交y軸于點(diǎn)B.證明:對(duì)線段AB上的任一點(diǎn)Q(p,q),有φ(p,q)=
|p0|
2
;
(2)設(shè)M(a,b)是定點(diǎn),其中a,b滿足a2-4b>0,a≠0.過(guò)M(a,b)作L的兩條切線l1,l2,切點(diǎn)分別為E(p1,
1
4
p
2
1
),E′(p2,
1
4
p22),l1,l2與y軸分別交于F,F(xiàn)′.線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X.證明:M(a,b)∈X?|P1|<|P2|?φ(a,b)=
|p1|
2

(3)設(shè)D={ (x,y)|y≤x-1,y≥
1
4
(x+1)2-
5
4
}.當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍D時(shí),求φ(p,q)的最小值 (記為φmin)和最大值(記為φmax

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ex
ex+1

(Ⅰ)證明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,
1
2
)對(duì)稱;
(Ⅱ)設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù),令g(x)=f-1(
x+1
x+2
),是否存在實(shí)數(shù)b
,使得任給a∈[
1
4
,
1
3
],對(duì)任意x∈(0,+∞).不等式g(x)>x-ax2
+b恒成立?若存在,求b的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:江蘇模擬 題型:解答題

A是定義在[2,4]上且滿足如下兩個(gè)條件的函數(shù)Φ(x)組成的集合:
①對(duì)任意的x∈[1,2],都有Φ(2x)∈(1,2);
②存在常數(shù)L(0<L<1),使得對(duì)任意的x1,x2∈[1,2],都有|Φ(2x1)-Φ(2x2)|≤L|x1-x2|;
(1)設(shè)Φ(x)=
[
3]1+x,x∈[2,4]
,證明:Φ(x)∈A;
(2)設(shè)Φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=Φ(2x0),那么,這樣的x0是唯一的;
(3)設(shè)Φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=Φ(2xn),n=1,2,…,
證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|
成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年廣東省高考數(shù)學(xué)研討會(huì)材料--2011年高考數(shù)學(xué)試題“紅黑榜”(解析版) 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xoy上,給定拋物線L:y=x2.實(shí)數(shù)p,q滿足p2-4q≥0,x1,x2是方程x2-px+q=0的兩根,記φ(p,q)=max{|x1|,|x2|}.
(1)過(guò)點(diǎn),A(pp2)(p≠0),作L的切線交y軸于點(diǎn)B.證明:對(duì)線段AB上的任一點(diǎn)Q(p,q),有φ(p,q)=;
(2)設(shè)M(a,b)是定點(diǎn),其中a,b滿足a2-4b>0,a≠0.過(guò)M(a,b)作L的兩條切線l1,l2,切點(diǎn)分別為E(p1,),E′(p2,p22),l1,l2與y軸分別交于F,F(xiàn)′.線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X.證明:M(a,b)∈X?|P1|<|P2|?φ(a,b)=
(3)設(shè)D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍D時(shí),求φ(p,q)的最小值 (記為φmin)和最大值(記為φmax

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