Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx，其中a＞0．
（1）若a=3．求曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=3時，f（x）=

1

2

x²-3lnx；f′（x）=x-

3

x

；從而得到f（1）=

1

2

，f′（1）=1-3=-2；從而寫出切線方程；
（2）求f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

；從而可確定函數(shù)f（x）在（0，

a

）上是減函數(shù)，在（

a

，+∞）上是增函數(shù)；從而由題意得到方程組

f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= e2 2 -a＞0 1＜ a ＜e f( a )= a 2 -aln a ＜0

；從而解得．

解答： 解：（1）當a=3時，f（x）=

1

2

x²-3lnx；
f′（x）=x-

3

x

；
故f（1）=

1

2

，f′（1）=1-3=-2；
故曲線f（x）在（1，f（1））處的切線方程為
y-

1

2

=-2（x-1）；
即，4x+2y-5=0；
（2）f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

；
故當x∈（0，

a

）時，f′（x）＜0，當x∈（

a

，+∞）時，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）在（0，

a

）上是減函數(shù)，在（

a

，+∞）上是增函數(shù)；
故由f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點知，

f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= e2 2 -a＞0 1＜ a ＜e f( a )= a 2 -aln a ＜0

；
解得，e＜a＜

e2

2

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及切線方程的應用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．