Question

某市A，B，C，D四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示：

中學(xué)	A	B	C	D
人數(shù)	30	40	20	10

為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問(wèn)卷調(diào)查．
（1）問(wèn)A，B，C，D四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？
（2）從參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的概率；
（3）在參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中，從來(lái)自A，C兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，用ξ表示抽得A中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列．

Answer 1

解：（1）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，
抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為．
∴應(yīng)從A，B，C，D四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為15，20，10，5．
（2）設(shè)“從參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)”為事件M，
從參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的取法共有=1225種，
這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的取法共有=350．
∴=．
∴從參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)
的概率為．
（3）由（1）知，在參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中，來(lái)自A，C兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為15，10．
依題意得，ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P

分析：（1）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為．據(jù)此即可計(jì)算出答案；
（2）利用組合的意義分別計(jì)算出從參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的方法和這兩名學(xué)生來(lái)自同一所中學(xué)的取法，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；
（3）由（1）知，在參加問(wèn)卷調(diào)查的50名學(xué)生中，來(lái)自A，C兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為15，10．可得ξ的可能取值為0，1，2．利用超幾何分布的概率計(jì)算公式P（ξ=k）=（k=0，1，2），即可得到分布列，利用數(shù)學(xué)期望的概率計(jì)算公式即可得出．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查分層抽樣、概率、離散型隨機(jī)變量的分布列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理、推理論證、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)．