設(shè)M,N為拋物線C:y=x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)M,N分別作拋物線C的切線l1,l2,與x軸分別交于A,B兩點(diǎn),且l1∩l2=P,若|AB|=1,
(1)若|AB|=1,求點(diǎn)P的軌跡方程
(2)當(dāng)A,B所在直線滿足什么條件時(shí),P的軌跡為一條直線?(請(qǐng)千萬(wàn)不要證明你的結(jié)論)
(3)在滿足(1)的條件下,求證:△MNP的面積為一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值.
(1)設(shè)P(x,y),M(x1,x12),N(x2,x22),切線的斜率 k=2x.
∴l(xiāng)1 的方程為 y-x12=2x1(x-x1),即   y=2x1x-x12   ①,
同理,l2 的方程為 y=2x2 x-x22   ②,令 y=0 可求出 A(
x1
2
,0),B(
x2
2
,0).
∵|AB|=1,所以,|x1-x2|=2,∴|x1+x2|2-4x1x2 =4,
由①,②,得  x=
x1+x2
2
,y=x1x2,故點(diǎn)P(
x1+x2
2
,x1x2).
∴y=x2-1,
(2)當(dāng) A,B 所在直線過(guò) C:y=x2 的焦點(diǎn).
(3)設(shè) MN:y=kx+b 又由 y=x2 得 x2-kx-b=0,所以,x1+x2=k,x1x2=-b,
∴P到MN的距離為 d=
|k
x1+x2
2
-x1x2+b|
1+k2
=,MN=
1+K2
|x1-x2|,
∴S=
1
2
MN•d=
1
4
(|x1+x2|2 -4x1x2|)•|x1-x2|=2,為定值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)若|AB|=1,求點(diǎn)P的軌跡方程
(2)當(dāng)A,B所在直線滿足什么條件時(shí),P的軌跡為一條直線?(請(qǐng)千萬(wàn)不要證明你的結(jié)論)
(3)在滿足(1)的條件下,求證:△MNP的面積為一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值.

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(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程
(Ⅱ)求證:△MNP的面積為一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值.

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