已知
(1)若是周期為π的偶函數(shù),求ω和θ的值;
(2)g(x)=f(3x)在上是增函數(shù),求ω的最大值;并求此時g(x)在[0,π]上的取值范圍.
【答案】分析:(1)依題意,y=f(x+θ)=2sin[ω(x+θ)+],利用y=f(x+θ)是周期為π的偶函數(shù),0<θ<,即可求得ω和θ的值;
(2)g(x)=f(3x)=2sin(3ωx+),利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求ω的最大值;并求此時f(x)在[0,π]上的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=sinωx+3cosωx=2sin(ωx+),
∴y=f(x+θ)=2sin[ω(x+θ)+],
∵y=f(x+θ)是周期為π的偶函數(shù),0<θ<
∴ω=2,2θ+=kπ+∈(),
∴k=0,θ=
(2))∵g(x)=f(3x)=2sin(3ωx+)在(-)上是增函數(shù),
∴由2kπ-≤3ωx+≤2kπ+(k∈Z),ω>0得:
≤x≤(k∈Z),
∵f(3x)=2sin(3ωx+)在(-)上是增函數(shù),
,≤-,ω>0
∴0<ω≤
∴ωmax=
當(dāng)ω=時,f(x)=2sin(x+),f(3x)=2sin(x+).
∵x∈[0,π],
x+∈[,],
≤sin(x+)≤1.
≤2sin(x+)≤2
∴當(dāng)x∈[0,π],f(3x)=2sin(x+)∈[,2].
點(diǎn)評:本題考查由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,考查正弦函數(shù)的周期與單調(diào)性,考查三角綜合運(yùn)算能力,屬于難題.
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已知函數(shù)f(x)=loga(1+sin2
x
2
-sin4
x
2
),其中0<a<1.
(1)判定函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)函數(shù)f(x)是否周期函數(shù)?若是,最小正周期是多少?
(3)試寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最大值、最小值;
(4)當(dāng)a=
1
2
時,試研究關(guān)于x的方程f(x)=b在[-
π
2
,
4
]上的解的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知數(shù)學(xué)公式
(1)若數(shù)學(xué)公式是周期為π的偶函數(shù),求ω和θ的值;
(2)g(x)=f(3x)在數(shù)學(xué)公式上是增函數(shù),求ω的最大值;并求此時g(x)在[0,π]上的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(上海卷解析版) 題型:解答題

已知函數(shù).

    (1)若,求的取值范圍;(6分)

    (2)若是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時,有,求函數(shù)

的反函數(shù).(8分)

 

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已知函數(shù).

    (1)若,求的取值范圍;(6分)

    (2)若是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時,有,求函數(shù)

的反函數(shù).(8分)

 

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