對于函數(shù)f(x),若存在x∈R,使得f(x)=x成立,則稱x為f(x)的不動點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b-7)x+18的兩個(gè)不動點(diǎn)分別是-3和2:
(Ⅰ)求a,b的值及f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.
【答案】分析:(Ⅰ)直接利用定義把條件轉(zhuǎn)化為f(-3)=-3,f(2)=2聯(lián)立即可求a,b的值及f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)先求出對稱軸,判斷區(qū)間所在位置,即可求函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(Ⅰ)依題意得f(-3)=-3,f(2)=2;
即9a+21-3b-a-ab=-3,4a+2b-14-a-ab=2,解得a=-3,b=5a,b=-15
∴f(x)=-3x2-2x+18
(Ⅱ)∵函數(shù)f(x)的對稱軸,且圖象開口向下,
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,∴f(x)max=f(0)=18,f(x)min=f(1)=13
所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇13,18]
點(diǎn)評:本題第二問涉及到二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題,一般根據(jù)是開口向上的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越小,離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大;開口向下的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越大,離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若存在區(qū)間M=[a,b](其中a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個(gè)函數(shù):
①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
(填出所有滿足條件的函數(shù)序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b(a<b),使當(dāng)x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域也是[a,b],則稱函數(shù)f(x)為“科比函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=k+
x+2
是“科比函數(shù)”,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點(diǎn).如果函數(shù)
f(x)=ax2+bx+1(a>0)有兩個(gè)相異的不動點(diǎn)x1,x2
(1)若x1<1<x2,且f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,求證:
12
<m<1;
(2)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若f(x0)=x0,則稱x0為f(x)的:“不動點(diǎn)”;若f[f(x0)]=x0,則稱x0為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)f(x)的“不動點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B,即A={x|f[f(x)]=x}.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求證:B=∅;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論判斷A=B恒成立?若能,請給出證明,若不能,請舉以反例.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,則稱x0為函數(shù)f(x)的不動點(diǎn).若函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個(gè)不動點(diǎn)0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,
(2)已知各項(xiàng)不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求證:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前題條件下,設(shè)bn=-
1
an
,Tn表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:T2011-1<ln2011<T2010

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