Question

設(shè)a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題
①若a⊥b，a⊥α，則b∥α，
②若a⊥β，α⊥β，則a∥α，
③若a∥α，a⊥β，則α⊥β
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β，
其中正確的命題序號(hào)是

 

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Answer 1

分析：根據(jù)線面垂直、面面垂直和線面平行的判定與性質(zhì)，可得①②兩個(gè)命題的結(jié)論都可能直線在平面內(nèi)，故①②不正確．根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理與面面垂直的判定定理，可證出③是真命題；根據(jù)兩個(gè)平面的法線所成角與兩平面所成角相等或互補(bǔ)，可證出④是真命題．由此即可得到本題答案．

解答：解：對(duì)于①，根據(jù)a⊥b，a⊥α，則b∥α或b?α，不一定得出b∥α，由此可得①不正確；
對(duì)于②，a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α，不一定得出a∥α，由此可得②不正確；
對(duì)于③，設(shè)經(jīng)過a的平面β交α于b，根據(jù)a∥α可得a∥b，
又因?yàn)閍⊥β，則可得b⊥β．
結(jié)合b?α，可得α⊥β，因此③是真命題；
對(duì)于④，由a⊥α且b⊥β，可得直線a、b所成角或其補(bǔ)角等于平面α、β所成角，
又因?yàn)閍⊥b，可得直線a、b所成角等于90°，由此可得α⊥β，所以④是真命題
綜上所述，可得正確命題的序號(hào)為③④
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于空間位置關(guān)系的幾個(gè)命題，要我們找出其中的真命題．著重考查了直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及面面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．