Question

已知雙曲線(xiàn)C：的右焦點(diǎn)為F₂，F(xiàn)₂在C的兩條漸近線(xiàn)上的射影分別為P、Q，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且四邊形OPF₂Q是邊長(zhǎng)為2的正方形，
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）過(guò)F₂的直線(xiàn)l交C于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，問(wèn)|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直線(xiàn)l的方程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意知C的兩條漸近線(xiàn)相互垂直，且F₂點(diǎn)到任一條漸近線(xiàn)的距離為2，
，
故雙曲線(xiàn)C的方程為。  
（Ⅱ）這樣的直線(xiàn)不存在，證明如下：
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，結(jié)論不成立；
當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，
并設(shè)、，
由知，
，
則， 
故
這不可能；
綜上可知，不存在這樣的直線(xiàn)。