Question

【題目】如圖，拋物線E：y2=2px（p＞0）與圓O：x2+y2=8相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．過劣弧AB上動(dòng)點(diǎn)P（x0 ， y0）作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1 ， l2 ， l1與l2相交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
代入y2=2px，解得p=1，
（Ⅱ）設(shè) ， ，y1≠0，y2≠0．
切線l1： ，
代入y2=2x得 ，由△=0解得 ，
∴l(xiāng)1方程為 ，同理l2方程為 ，
聯(lián)立 ，解得 ，
∵CD方程為x0x+y0y=8，其中x0 ， y0滿足 ， ，
聯(lián)立方程 得 ，則 ，
代入 可知M（x，y）滿足 ，
代入 得 ，
考慮到 ，知 ．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 ，
【解析】（Ⅰ）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），代入y2=2px，解p．（Ⅱ）設(shè) ， ，y1≠0，y2≠0．切線l1： ，代入y2=2x，求出 ，得到l1方程為 ，同理l2方程為 ，聯(lián)立直線方程組，求出M，利用CD方程為x0x+y0y=8，聯(lián)立方程 利用韋達(dá)定理，代入 可知M（x，y）滿足 ，求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．