Question

已知m，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞-1時(shí)，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）對(duì)于n≥6，已知(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，求證(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出滿足等式3ⁿ+4ⁿ+5n⁺…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整數(shù)n．

Answer 1

解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)x=0時(shí)，（1+x）^m≥1+mx；即1≥1成立，
x≠0時(shí)，證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊�(dāng)m=1時(shí)，原不等式成立；
當(dāng)m=2時(shí)，左邊=1+2x+x²，右邊=1+2x，
因?yàn)閤²≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，不等式成立，即（1+x）^k≥1+kx，
則當(dāng)m=k+1時(shí)，∵x＞-1，
∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）^k≥1+kx兩邊同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²≥1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x．即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合（�。�（ⅱ）知，對(duì)一切正整數(shù)m，不等式都成立．
（Ⅱ）證：當(dāng)n≥6，m≤n時(shí)，由（Ⅰ）得(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，
于是(1-

m

n+3

)n≤(1-

1

n+3

)nm=[(1-

1

n+3

)n]m＜(

1

2

)m，m=1，2，n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)n≥6時(shí)，(1-

1

n+3

)n+(1-

2

n+3

)n++(1-

n

n+3

)n＜

1

2

+(

1

2

)^++(

1

2

)n=1-

1

2n

＜1，∴(

n+2

n+3

)n+(

n+1

n+3

)n++(

3

n+3

)n＜1．
即3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ．即當(dāng)n≥6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n．
故只需要討論n=1，2，3，4，5的情形：
當(dāng)n=1時(shí)，3≠4，等式不成立；
當(dāng)n=2時(shí)，3²+4²=5²，等式成立；
當(dāng)n=3時(shí)，3³+4³+5³=6³，等式成立；
當(dāng)n=4時(shí)，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴為偶數(shù)，而7⁴為奇數(shù)，故3⁴+4⁴+5⁴+6⁴≠7⁴，等式不成立；
當(dāng)n=5時(shí)，同n=4的情形可分析出，等式不成立．
綜上，所求的n只有n=2，3．
解法2：（Ⅰ）證：當(dāng)x=0或m=1時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)x＞-1，且x≠0時(shí)，m≥2，（1+x）^m＞1+mx． ①
（�。┊�(dāng)m=2時(shí)，左邊=1+2x+x²，右邊=1+2x，因?yàn)閤≠0，所以x²＞0，即左邊＞右邊，不等式①成立；
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)m=k（k≥2）時(shí)，不等式①成立，即（1+x）^k＞1+kx，則當(dāng)m=k+1時(shí)，
因?yàn)閤＞-1，所以1+x＞0．又因?yàn)閤≠0，k≥2，所以kx²＞0．
于是在不等式（1+x）^k＞1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）^k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1＞1+（k+1）x．即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式①也成立．
綜上所述，所證不等式成立．
（Ⅱ）證：當(dāng)n≥6，m≤n時(shí)，∵(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，
∴[(1-

1

n+3

)m]n＜(

1

2

)m，
而由（Ⅰ），(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，
∴(1-

m

n+3

)n≤[(1-

1

n+3

)m]n＜(

1

2

)m．
（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)n₀≥6使等式3n0+4n0++(n0+2)n0=(n0+3)n0成立，
即有(

3

n0+3

)n0+(

4

n0+3

)n0++(

n0+2

n0+3

)n0=1． ②
又由（Ⅱ）可得(

3

n0+3

)n0+(

4

n0+3

)n0++(

n0+2

n0+3

)n0
=(1-

n0

n0+3

)n0+(1-

n0-1

n0+3

)n0++(1-

1

n0+3

)n0＜(

1

2

)n0+(

1

2

)n0-1++

1

2

=1-

1

2n0

＜1，與②式矛盾．
故當(dāng)n≥6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n．
下同解法1．