Question

已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|

1

2

x-1|．
（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥a（a∈R）．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f(x)=|x+1|+|

1

2

x-1|=

3 2 x，x≥2 1 2 x+2，-1≤x＜2 - 3 2 x，x＜-1

，由此能作出f（x）的圖象，寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）結(jié)合f（x）=

3 2 x，x≥2 1 2 x+2，-1≤x＜2 - 3 2 x，x＜-1

的圖象，能求出關(guān)于x的不等式f（x）≥a（a∈R）的解集．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=|x+1|+|

1

2

x-1|，
由x+1=0，得x=-1；當(dāng)

1

2

x-1=0時，x=2．
當(dāng)x≥2時，f（x）=x+1+

1

2

x-1=

3

2

x；
當(dāng)-1≤x＜2時，f（x）=x+1+1-

1

2

x=

1

2

x+2；
當(dāng)x＜-1時，f（x）=-x-1+1-

1

2

x=-

3

2

x．
∴f（x）=

3 2 x，x≥2 1 2 x+2，-1≤x＜2 - 3 2 x，x＜-1

，
f（x）的圖象如下圖：

結(jié)合f（x）的圖象，知f（x）的減區(qū)間是（-∞，-1），增區(qū)間是[-1，+∞）．
（2）∵f（x）=

3 2 x，x≥2 1 2 x+2，-1≤x＜2 - 3 2 x，x＜-1

，
∴結(jié)合f（x）的圖象知：
當(dāng)a≤

3

2

時，f（x）≥a恒成立，即不等式的解為（-∞，+∞）；
當(dāng)

3

2

＜a≤3時，不等式的解為(-∞，-

2

3

a]∪[2a-4，+∞)；
當(dāng)a＞3時，不等式的解為(-∞，-

2

3

a]∪[

2

3

a，+∞)．

點評：本題考查帶絕對值函數(shù)的應(yīng)用，解題時要認真審題，注意絕對值的性質(zhì)和分段函數(shù)性質(zhì)的合理運用．