Question

20．如圖，某小區(qū)準備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地，圖中$∠B=\frac{π}{2}，AB=a，BC=\sqrt{3}a$．設計時要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道MN，且兩邊是兩個關于走道MN對稱的三角形（△AMN和△A'MN）．現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則，要求點M與點A，B均不重合，A'落在邊BC上且不與端點B，C重合，設∠AMN=θ．
（1）若$θ=\frac{π}{3}$，求此時公共綠地的面積；
（2）為方便小區(qū)居民的行走，設計時要求AN，A'N的長度最短，求此時綠地公共走道MN的長度．

Answer 1

分析 （1）由題意可知A=$\frac{π}{3}$，故△AMN為等邊三角形，根據(jù)BM與AM的關系得出AM，代入面積公式計算；
（2）用θ 表示出AM，利用正弦定理得出AN關于θ的函數(shù)，利用三角恒等變換求出AN取得最小值對應的θ值，再計算MN的長．

解答 解：（1）∵△AMN≌△A'MN，∴∠AMN=∠A′MN=$\frac{π}{3}$，
∴∠BMA′=$\frac{π}{3}$，∴BM=$\frac{1}{2}$A′M=$\frac{1}{2}$AM．
∴AM=$\frac{2}{3}AB$=$\frac{2}{3}a$，
∵AB=a，BC=$\sqrt{3}a$，∠B=$\frac{π}{2}$，∴∠A=$\frac{π}{3}$，
∴△AMN是等邊三角形，
∴S=2S_△AMN=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}×$$\frac{4{a}^{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}}{9}$．
（2）∵∠BMA′=π-2θ，AM=A′M，
∴BM=A′Mcos∠BMA′=-AMcos2θ．
∵AM+BM=a，即AM（1-cos2θ）=a，
∴AM=$\frac{a}{1-cos2θ}$=$\frac{a}{2si{n}^{2}θ}$．
在△AMN中，由正弦定理可得：$\frac{AN}{sinθ}=\frac{AM}{{sin（π-\frac{π}{3}-θ）}}$，
∴$AN=\frac{AMsinθ}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}=\frac{a}{{2sinθsin（\frac{2π}{3}-θ）}}$，
令f（θ）=2sinθsin（$\frac{2π}{3}$-θ）=2sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ+$\frac{1-cos2θ}{2}$=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，∴當$2θ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{3}$時f（θ）取最大值，
∴當θ=$\frac{π}{3}$時AN最短，此時△AMN是等邊三角形，$MN=AM=\frac{2}{3}a$．

點評 本題考查了解三角形的實際應用，正弦定理及三角恒等變換，屬于中檔題．