已知曲線y＝ax3－bx(a≠0)上有兩個不同的點A，B，且過A，B兩點的切線都垂直于直線AB．

(1)試判斷A，B兩點是否關(guān)于原點對稱，并說明理由；

(2)求出a，b所滿足的條件，并畫出點P(a，b)的存在范圍．

答案：
解析：

　　解　　(1)＝3ax2－b．設(shè)A(s，as3－bs)，B(t，at3－bt)為曲線上兩個不同的點，從而s≠t．

　　依題意過A，B兩點切線的斜率相等(或都不存在)，從而3as2－b＝3at2－b．

　　由于a≠0，故s2＝t2，于是s＝－t．由于函數(shù)y＝ax3－bx是奇函數(shù)，所以A、B兩點關(guān)于原點對稱．

　　(2)KAB＝＝a(t2＋ts＋s2)－b＝as2－b．

　　依題意(as2－b)·(3as2－b)＝－1，

　　即3a2(s2)2－4abs2＋1＋b2＝0．

　　令x＝s2，則方程3a2x2－4abx＋1＋b2＝0至少有一個正根．

　　因方程兩根之積為＞0，故方程兩根均為正根，從而兩根之和＞0，且Δ＝(4ab)2－12a2(1＋b2)≥0．

　　于是，a，b同號，且b2≥3，圖像如圖所示．


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(Ⅰ)求c的值，寫出極值點橫坐標(biāo)的取值范圍(不需要證明)；

(Ⅱ)在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在一點M(x0，y0)，使曲線y＝ax3＋bx2＋cx＋d在點M處的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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